Фамилия Азгаев образована от достаточно редкого татарского мужского имени Азгай. Вероятно, оно происходит от татарского слова «азга» - «ненадолго, на короткий срок», «немного, немножко». Возможно, это имя имело значение «младший, маленький», то есть его могли дать младшему ребенку в семье. Однако не исключено, что это имя было обрядовым. В данном случае, надеясь, что ребенок долго проживет, то есть придет надолго, родители назвали его Азгай, то есть «недолговечный». Таким образом, потомок человека, которого звали Азгай, со временем получил фамилию Азгаев.