Фамилия Азгаев — редкий пример тюркской фамилии, которая строится по простой и прозрачной модели: к основе, мужскому имени Азгай, добавляется русский патронимический суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — Азгаев). Это значит, что предок носителя фамилии носил имя Азгай.

Само имя Азгай, по всей видимости, происходит от татарского слова «азга» — «ненадолго, на короткий срок» или «немного, немножко». Отсюда вытекают две основные версии его значения. Первая — «младший, маленький». Такое имя могли дать младшему ребенку в семье, подчеркивая его возраст или положение. Вторая версия — обрядовая, и она интереснее. В некоторых культурах существовал обычай давать ребенку «плохое» имя, чтобы обмануть злых духов и защитить его от сглаза или ранней смерти. Называя младенца Азгай, то есть «недолговечный», «пришедший ненадолго», родители, наоборот, надеялись, что он проживет долгую жизнь. Таким образом, имя работало как оберег.

Фамилия Азгаев, как и исходное имя, встречается нечасто. Она бытует в среде поволжских татар и башкир, а также у представителей других тюркских народов, где имя Азгай было в ходу. В русских документах фамилия фиксируется с XIX века, когда крестьяне и горожане из татарских и башкирских селений получали фамилии по отцу. Суффикс -ев (а не -ов) указывает на то, что основа имени заканчивалась на мягкий согласный или «й» (Азгай → Азгаев). Среди однокоренных можно назвать фамилию Азгалин, но она образована от другой формы того же имени — Азгали.