Фамилия Азгур — редкий случай в русском ономастиконе. Её происхождение неочевидно, и у специалистов нет единого мнения. Самая распространённая версия связывает её с тюркскими языками. В них слово «азгур» или близкие к нему формы могли означать «злой», «сварливый», «упрямый» или «буйный». Такое прозвище мог получить человек с непростым характером, которого окружающие запомнили по крутому нраву.

Вторая гипотеза отсылает к арабскому или персидскому корню. В мусульманских именах встречается компонент «аз» (свободный, благородный) и «гур» (могила, пещера), но это сочетание выглядит натянутым и не имеет убедительных параллелей в фамилиях. Правдоподобнее выглядит версия о прозвище, данном по месту жительства или занятию, но подтверждений этому нет.

Интересно, что фамилия не имеет типичных русских суффиксов -ов, -ин или -ский. Это говорит о её позднем и, вероятно, нерусском происхождении. Носители фамилии Азгур встречаются в основном на юге России, в Поволжье и в Закавказье — в регионах, где исторически сильны тюркские и кавказские влияния.

Самая известная носительница фамилии — скульптор Заир Азгур (1908–1995), народный художник СССР. Его фамилия белорусская и, скорее всего, имеет другую этимологию: в белорусском языке «азгур» может быть вариантом слова «азгурны» — «непоседливый», «озорной». Таким образом, фамилия Азгур неоднородна: у белорусских Азгуров она могла возникнуть из местного диалекта, а у южных и восточных — из тюркского прозвища.