Фамилия Ажгиреев — один из тех редких случаев, когда в основе лежит не имя, не профессия и не внешность, а глагол в повелительном наклонении. Такие фамилии ономасты называют «императивными». В русском языке их немного, и они почти всегда указывают на прозвище, данное человеку за какую-то привычку или особенность поведения: например, Убейкобыла, Сорокин (от «сорока» — вор), или наш случай.

Разбираем слово: «ажги» — это диалектный вариант глагола «жги», то есть «жги, зажигай» (с характерным для южнорусских и украинских говоров аканьем: «ажги» вместо «ожги»). Суффикс -еев указывает на патронимическую модель: Ажгиреев — буквально «сын того, кого прозвали Ажгирей» (или «Ажгир»). Получается, исходное прозвище звучало как Ажгирей или Ажгир — человек, который «жжёт», поджигает, или же переносно — задира, горячая голова.

Версия с тюркским корнем (от «ажгир» — «жеребец» или «необузданный») менее вероятна: акающий вариант «ажги» — чисто славянская фонетическая черта, а суффикс -еев типичен для русских фамилий от прозвищ на -ей. Таким образом, наиболее правдоподобно, что предок носителя фамилии получил прозвище за буйный нрав или за работу, связанную с огнём (кузнец, смолокур, сторож на пожаре).

Географически фамилия редкая и встречается в основном на юге России, в Ростовской области, Краснодарском крае и в Поволжье — как раз в зоне, где аканье и форма «ажги» были обычны. В документах XVIII–XIX веков фамилия могла писаться как Ажгиреев, Ажгирев или даже Ожгиреев (с восстановлением литературного «о»). Современное написание закрепилось в советских паспортах.

Если коротко: Ажгиреев — человек из семьи того, кого в народе звали «Жги» или «Ажгирей». Прозвище могло быть ироничным (задира, которого осаживали) или профессиональным (человек при огне), но в любом случае оно оживлённое, не книжное — из живой речи южнорусских крестьян.