Фамилия Азолимов — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не географическое название, а, скорее всего, прозвище, связанное с внешностью или манерой поведения. Самая правдоподобная версия возводит её к слову «азол» или «азоль». В русских говорах, особенно на северо-западе и в Поволжье, «азол» — это исхудалый, тощий человек, либо бранное прозвище для сварливого, злого человека. Таким образом, Азолим — человек, получивший прозвище Азол, а его потомки стали Азолимовыми.

Суффикс «-им» в окончании основы (Азолим) — редкая для русских фамилий деталь. Обычно фамилии на «-им» (вроде Строимов, Гуримов) образуются от неканонических форм имён или прозвищ, где «им» — это усечённая форма от «Имя» или результат диалектного произношения. В случае с Азолимовым суффикс «-ов» стандартно указывает на принадлежность: «чей?» — Азолимов, то есть сын или потомок Азолима.

Встречается и альтернативная, менее вероятная гипотеза: связь с еврейским именем Азриэль (в русской транскрипции часто дававшим варианты вроде Азриль, Азрил). Тогда Азолимов могло возникнуть как русифицированная форма от Азриль — Азрильев, но с заменой суффикса. Однако такая версия плохо объясняет появление звука «о» в корне и редкий суффикс «-им», тогда как говоровое «азол» даёт естественное объяснение.

Географически фамилия редкая, но её следы фиксируются в документах XIX века по Саратовской и Самарской губерниям — областям, где были сильны старообрядческие и крестьянские традиции, а также активны говоры с лексикой «азол». Это косвенно подтверждает, что предки носителей фамилии были скорее всего крестьянами или мещанами, а прозвище закрепилось за конкретным родом, возможно, за одним двором в каком-нибудь селе.

Таким образом, Азолимов — это фамилия, образованная от прозвища, которое давали либо очень худому, либо неуживчивому человеку. В ней нет ничего экзотического или искусственного, несмотря на редкость и необычно звучащий корень.