Фамилия Азопков — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Её основа, «Азопк», не встречается ни в современных словарях личных имён, ни в списках распространённых прозвищ. Однако словообразовательная модель прозрачна: суффикс -ов указывает на принадлежность («чей?»), то есть Азопков — сын или потомок человека по прозвищу или имени Азопко. Уменьшительный суффикс -к- в основе (Азоп-к-о) характерен для украинской, белорусской и южнорусской традиции образования имён и прозвищ.

Самая вероятная версия связывает фамилию с тюркским или греческим корнем. В греческом языке есть имя Азоп (Ασωπός) — имя речного бога в мифологии, а также название нескольких рек в Греции. Попасть в русскую среду такое имя могло через греческое духовенство или купцов, особенно в южных областях России и Украины, где контакты с греками были частыми. В тюркских языках существует слово «азоп» (или «азап») — «мука, страдание», но в русских говорах оно не закрепилось как прозвище. Менее вероятно, но не исключено, что Азопко — это фонетический вариант от имени Азапко (от «азап» — «бедняга, мученик»), которое могло даваться в крестьянской среде как охранительное имя.

Географически фамилия Азопков встречается крайне редко, преимущественно в документах XIX — начала XX века, связанных с южными губерниями (Воронежская, Харьковская, область Войска Донского). Это подтверждает версию о южнорусских или украинских корнях. Сословно носители фамилии, скорее всего, были крестьянами или однодворцами. Известных исторических деятелей с такой фамилией не зафиксировано, что типично для редких родовых прозваний, не попавших в дворянские родословные книги.

Таким образом, фамилия Азопков, вероятнее всего, образована от греческого имени Азоп (через уменьшительную форму Азопко) и бытовала в среде православного населения юга России. Второстепенная версия — происхождение от тюркского прозвища Азапко с последующим озвончением согласного. Точный ответ возможен только при обнаружении ранних письменных источников (ревизских сказок или метрических книг) конкретной семьи.