Фамилия Азопков — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы понять, откуда она взялась, достаточно взглянуть на её строение. Суффикс -ов в русских фамилиях указывает на принадлежность: Азопков — это сын или потомок человека по имени или прозвищу Азопко. А вот уменьшительный суффикс -к- в основе (Азоп-к-о) — характерная черта украинской, белорусской и южнорусской традиции образования имён. То есть перед нами южнорусская или малороссийская модель фамилии.

Самая вероятная версия связывает основу «Азоп» с греческим языком. В греческой мифологии Азоп (Ασωπός) — имя речного бога, а также название нескольких рек в Греции. Попасть в русскую среду такое имя могло через греческое духовенство или купцов, особенно в южных областях, где контакты с греками были частыми. Менее вероятно, но не исключено происхождение от тюркского корня «азап» — «мука, страдание». В этом случае Азопко могло быть фонетическим вариантом имени Азапко, которое в крестьянской среде давали как охранительное, чтобы «отвести» от ребёнка беды. Однако в русских говорах слово «азоп» не закрепилось как прозвище, поэтому греческая версия выглядит правдоподобнее.

Географически фамилия Азопков встречается крайне редко, и основная масса документов XIX — начала XX века связана с южными губерниями: Воронежской, Харьковской и областью Войска Донского. Это подтверждает южнорусские или украинские корни. Сословно носители фамилии, скорее всего, были крестьянами или однодворцами. Известных исторических деятелей с такой фамилией не зафиксировано — это типично для редких родовых прозваний, не попавших в дворянские родословные книги.

Таким образом, фамилия Азопков, вероятнее всего, образована от греческого имени Азоп через уменьшительную форму Азопко и бытовала в среде православного населения юга России. Точный ответ возможен только при обнаружении ранних письменных источников — ревизских сказок или метрических книг конкретной семьи.