Фамилия Азолков — редкая, её происхождение не лежит на поверхности. Самая надёжная версия — русская, основанная на прозвище или неканоническом имени Азолко. Суффикс -к- здесь типичен для обиходных, уменьшительных форм на Руси (ср. Ивашко, Косолко). К этой основе добавили стандартный патронимический суффикс -ов, и получилось «сын Азолка». Всё это укладывается в привычную для русских фамилий модель, и искать иноязычный корень (вроде искажённого «асол» или «озол») нужды нет.

Ключевой вопрос: что означало само слово «азол»? В русских говорах, особенно северных и сибирских, зафиксировано слово «азол» (или «озол») в значении «зола», «пепел». Прозвище Азолко могли дать человеку с очень светлыми, пепельными волосами. Менее вероятно, что оно относилось к занятию: например, к золотарю, который собирал золу для производства поташа, или к тому, кто выжигал уголь. Версия с древнерусским глаголом «азлити» — «сжигать» — поддержки в ономастике не находит.

В пользу исконно русского происхождения говорит и сама словообразовательная модель: основа на -к- плюс суффикс -ов. Фамилий с финалью «-олков» в русском языке немного, но они есть — например, Молков, Толков. Азолков, скорее всего, возникла в среде крестьян или посадских людей, где прозвища давали по внешним признакам или роду занятий. Географически фамилия встречается точечно, чаще всего в центральных и южных регионах России, что косвенно подтверждает её позднее закрепление (не ранее XVII века) и отсутствие аристократических корней.

В словарях Б. Унбегауна или В. Никонова эта фамилия не упоминается — типичная ситуация для редких, локальных фамилий, не попавших в общерусские справочники. Есть отдалённая вероятность, что Азолков — фонетический вариант фамилии Озолков (от «озол» — зола) или даже Асалков (от тюркского имени Асал). Но версия с прозвищем по цвету волос или занятию выглядит наиболее органичной для русской антропонимической традиции.