Фамилия Азолков — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Если отбросить интуитивное желание искать в ней иноязычный корень (например, «азол» как возможное искажение «асол» или «озол»), то наиболее надёжная версия лежит в области русских прозвищ и диалектной лексики. В основе фамилии — прозвище или неканоническое имя Азолко. Суффикс -к- в данном случае типичен для обиходных, уменьшительных форм личных имён или прозвищ на Руси (ср. Ивашко, Федька, а также прозвища вроде Косой — Косолко). Далее добавляется стандартный патронимический суффикс -ов, образующий фамилию по отцу: «сын Азолка».

Ключевой вопрос — что означало само слово «азол» или «азолко». В русских говорах, особенно северных и сибирских, зафиксировано слово «азол» (или «озол») в значении «зола», «пепел». Соответственно, прозвище Азолко могли дать человеку с очень светлыми, пепельными волосами, либо, что менее вероятно, тому, кто работал с золой — например, золотарь (собиратель золы для производства поташа) или тот, кто выжигал уголь. Другая версия, менее популярная, связывает основу с древнерусским глаголом «азлити» — «сжигать», но она не находит широкой поддержки в ономастике.

В пользу исконно русского, а не заимствованного происхождения говорит и типичная модель: основа на -к- + -ов. Фамилий с финалью «-олков» в русском языке немного, но они есть (например, Молков, Толков). Азолков могла возникнуть в среде крестьян или посадских людей, где прозвища давались по внешним признакам или роду занятий. Географически фамилия встречается точечно, чаще всего в центральных и южных регионах России, что косвенно подтверждает её позднее закрепление (не ранее XVII века) и отсутствие аристократических корней.

В словарях Б. Унбегауна или В. Никонова эта фамилия не упоминается, что типично для редких, локальных фамилий, не попавших в общерусские справочники. Есть отдалённая вероятность, что Азолков — это фонетический вариант фамилии Озолков (от «озол» — зола) или даже Асалков (от тюркского имени Асал), но первая версия — от прозвища по цвету волос или занятию — выглядит наиболее органичной для русской антропонимической традиции.