Фамилия Азолова, скорее всего, имеет искусственное, семинарское происхождение. В русской ономастике фамилии на -ов/-ев и -ин, образованные от слов, не свойственных славянской лексике, часто давали воспитанникам духовных училищ. В основе лежит латинское слово «asellus» — «ослик». Это редкий случай, когда фамилию произвели от названия животного не напрямую, а через латинскую форму, что было типично для семинарской среды, где будущие священники получали фамилии по переводу русских прозвищ на латынь или по названиям библейских реалий.

Мужской вариант — Азолов. Вероятно, его дали ученику за спокойный, упрямый или трудолюбивый нрав, либо просто по созвучию с церковнославянским словом «осёл». В отличие от фамилий, образованных от крестильных имён (Иванов, Петров), Азолова — «говорящая» фамилия, которая напрямую указывает на характеристику или обстоятельство, а не на родство.

Встречается фамилия преимущественно в южных и центральных регионах России, где были распространены духовные училища. Носительницы с такой фамилией, как правило, потомки выходцев из духовного сословия, хотя в XIX веке часть семинарских фамилий «осела» и в крестьянской среде после отмены крепостного права. Других версий происхождения, например от тюркских корней, нет — слово «азол» не фиксируется ни в одном из соседних языков как нарицательное.