Фамилия Азолова — редкий случай искусственного, семинарского происхождения. Её давали не по имени отца или ремеслу, а по латинскому слову «asellus» — «ослик». В духовных училищах и семинариях будущим священникам нередко присваивали фамилии, образованные от латинских или греческих корней, часто путём перевода русского прозвища или просто по созвучию с церковнославянской лексикой. Мужской вариант — Азолов. Вероятно, её получил ученик за спокойный, упрямый или трудолюбивый нрав, либо за внешнее сходство с ослом — беззлобное прозвище, закрепившееся в официальной фамилии.

Фамилии на -ов/-ев и -ин, произведённые от слов, не свойственных славянской лексике, — один из главных маркеров семинарского происхождения. В отличие от крестильных фамилий (Иванов, Петров), Азолова не указывает на родство, а прямо называет характеристику человека. Это «говорящая» фамилия, которая могла закрепиться за выпускником духовного училища и затем передаваться по наследству.

Встречается фамилия преимущественно в южных и центральных регионах России — там, где были распространены духовные училища. Носительницы с такой фамилией, как правило, потомки выходцев из духовного сословия, хотя в XIX веке, после отмены крепостного права, часть семинарских фамилий перешла и в крестьянскую среду. Других версий происхождения, например от тюркских корней, нет — слово «азол» не фиксируется ни в одном из соседних языков как нарицательное.