Фамилия Азовкина — женская форма фамилии Азовкин, а та в свою очередь образована от прозвища или нецерковного имени Азовка. В основе лежит топоним Азов — город на юге России, известный с древности, или река Азовка (впадает в Азовское море). Модель с суффиксом -к- и последующим -ин указывает на принадлежность: Азовкин буквально значит «сын Азовки» или «человек из рода Азовки».

Прозвище Азовка могли дать человеку, который побывал в Азове, торговал с азовцами или участвовал в Азовских походах Петра I (1695–1696). В XVII–XVIII веках Азов был крепостью, ключевым пунктом для русских войск и казаков. Вероятно, прозвище закрепилось за выходцами с Дона или Приазовья — среди донских и запорожских казаков такие топонимические прозвища были обычны. Есть и более прозаичная версия: в некоторых говорах «азовка» — название рыбы (бычок, пескарь), так что прозвище могло относиться к рыбаку или торговцу рыбой.

С точки зрения географии, фамилия Азовкин (и, соответственно, Азовкина) встречается преимущественно в южных регионах России — в Ростовской, Волгоградской областях, Краснодарском крае, а также на Украине. Встречаемость невысокая, фамилия редкая. По сословной принадлежности предки чаще всего были крестьянами или казаками — документальных подтверждений дворянского происхождения нет.

Интересная деталь: в старых переписных книгах фамилия могла писаться с двумя «з» — Аззовкин, что отражало произношение с удвоенным согласным после падения редуцированных. Но в современном написании закрепился вариант с одной «з».