Фамилия Азовцева образована от прозвища Азовец. Чаще всего так называли выходца из города Азов или человека, жившего на побережье Азовского моря. История самого названия Азов сложна и уходит в глубокую древность: на месте современного города в XIII веке стоял золотоордынский Азак, позже — венецианская и генуэзская колония Тана, а с 1475 года — турецкая крепость. В 1637 году Азов взяли донские казаки, а окончательно в состав России он вошёл в 1739-м. Топоним восходит к тюркскому «азак» — «устье», что указывает на положение города в устье Дона. Прозвище Азовец могли дать и переселенцу из этих мест, и казаку, участвовавшему в Азовских походах.

Фамилия построена по типичной для русских фамилий модели: прозвище на -ец (Азовец) + фамильный суффикс -ов (в женском роде — Азовцева). Такая модель характерна для фамилий, образованных от географических названий: ср. Донец — Донцов, Таганец — Таганцев. Ударение в фамилии падает на первый слог: А́зовцева. Встречается она преимущественно в южных регионах России и на Дону, что подтверждает её связь с приазовскими землями.