Фамилия Азовцев происходит от прозвища Азовец — так называли выходца из города Азов или человека, жившего на берегу Азовского моря. В основе лежит название города Азов, чья история уходит в глубокую древность: в I–III веках здесь жило племя меотов, с XIII века существовал золотоордынский город Азак, в XIV веке — венецианская и генуэзская колония Тана. Город разрушал Тамерлан в 1395 году, с 1475 года здесь стояла турецкая крепость, в 1637 году Азов взяли казаки, а в 1739 году он вошел в состав России.

Само слово «Азов» восходит к тюркскому «азак» — «устье», что указывает на расположение в устье Дона. Но предок Азовцевых мог жить не обязательно в самом городе, а просто на побережье Азовского моря — прозвище Азовец давали и тем, кто переселился оттуда. Русские фамилии, образованные от географических названий, относятся к числу древних: некоторые из них прослеживаются с XV века.

Модель образования проста: к основе «Азов» добавили суффикс -ец (обозначающий жителя или уроженца), а затем патронимический суффикс -ев. Получилось отчество «Азовцев» — «сын Азовца». Со временем оно закрепилось как фамилия. Такая словообразовательная цепочка типична для русских фамилий, указывающих на место происхождения.