Фамилия Азов в своей основе имеет прозвище или географическое название, и обе версии заслуживают внимания. Словообразовательная модель проста: суффикс -ов указывает на принадлежность («чей?»), то есть фамилия отвечает на вопрос «сын или потомок Аза» или «выходец из Азова». Разберём возможные корни.

Первая гипотеза связывает фамилию с тюркским словом «аз» — «незначительный, редкий». Такое прозвище могли дать человеку за скромное телосложение, невысокий рост или, наоборот, за редко встречающуюся черту характера. В тюркских языках это слово имеет оттенок «малый», «немногий», что вполне могло стать бытовым именем.

Вторая версия — топонимическая. Город Азов, расположенный в устье Дона, имеет древнюю историю, уходящую корнями в античность. Его основали греки, затем он входил в состав Тмутараканского княжества (конец X века, когда Владимир I передал эти земли сыну Мстиславу). В 1067 году город захватили половцы и дали ему современное название. В XIII веке Азов перешёл к генуэзцам и стал важным перевалочным пунктом для торговли с Индией и Китаем. В 1637 году его взяли донские казаки, но окончательно в состав Российской империи крепость вошла лишь после русско-турецкой войны 1735–1739 годов, когда войска генерала Ласси взяли её, и по Белградскому миру она навсегда осталась за Россией. Если предок Азовых родился или долго жил в этом городе, фамилия могла закрепиться за ним как указание на место выхода.

Обе версии правдоподобны, но топонимическая кажется более убедительной для массового бытования фамилии: прозвища по названиям городов и крепостей в русской среде встречались часто, особенно среди служилых людей и казаков, тесно связанных с южными рубежами. В пользу этого говорит и то, что фамилия Азов нередко встречается в донских и кубанских казачьих родах. Тюркская версия не исключена, но она менее конкретна и не подкреплена такой же географической привязкой.

В написании фамилии нет редких черт: она образована по стандартной патронимической модели. Однокоренные фамилии — Азовцев, Азовский — встречаются реже и обычно прямо указывают на связь с городом или рекой Азовкой.