Фамилия Азовцевы — это типичный пример «географической» фамилии, которая закрепилась за человеком по месту его прежнего жительства. В основе лежит прозвище Азовец, то есть выходец из города Азова или с побережья Азовского моря. В прошлом, когда люди переезжали в новые края, их часто называли не по имени, а по тому, откуда они пришли: «Азовец» — значит «тот, кто с Азова». Со временем это прозвище застыло в фамилии, а суффикс -ев добавил значение принадлежности: Азовцев — сын Азовца.

История самого Азова сложна и насыщенна. В разное время здесь стояли золотоордынский город Азак, венецианская и генуэзская колония Тана, а позже — турецкая крепость, которую в 1637 году взяли донские казаки. Окончательно город вошёл в состав России в 1739 году. Название города восходит к тюркскому слову «азак» — «устье», что указывает на его положение в устье Дона. Поэтому предок Азовцевых мог жить не только в самом городе, но и на всём побережье Азовского моря — прозвище могло относиться к любому человеку, пришедшему из тех краёв.

Точное время возникновения фамилии определить трудно: процесс закрепления прозвищ в фамилии растянулся на несколько столетий. Однако сама модель образования — от названия города или реки с помощью суффикса -ец и притяжательного -ов/-ев — одна из самых распространённых в русской ономастике. Такие фамилии, как Москвин, Тверитинов, Ростовцев, устроены по тому же принципу. Фамилия Азовцев — памятник не столько письменности, сколько живой народной традиции называть человека по его родине.