Фамилия Азуров происходит от имени Азур. Спектр возможных значений этого имени широк, и единого мнения о его корнях нет. Наиболее обоснованной выглядит версия о еврейском происхождении основы. Имя Азур могло возникнуть как фонетический вариант библейского имени Аззур, что значит «помощник», или имени Азор — «сильный, крепкий». Именно эта гипотеза чаще всего встречается в ономастических справочниках.

Существует и альтернативное объяснение, связывающее имя Азур с восточным именем Хазар. В арабском языке у него несколько значений: «ведущий оседлую жизнь», «городской житель» или «тысяча». В таком случае имя могло быть пожелательным: родители давали его ребёнку, желая ему долгой жизни, сравнимой с тысячей лет, или прочной оседлости и достатка.

Сама фамилия Азуров образована по простой и распространённой модели: к основе Азур добавили русский патронимический суффикс -ов. Он указывает на принадлежность: «сын Азура» или «из семьи Азура». Такая модель типична для русских фамилий, которые формировались из крестильных имён или прозвищ, независимо от их первоначального языка.

Фамилия Азуров встречается нечасто. Её география не привязана к одному региону, что говорит о разрозненном появлении носителей. Сословная принадлежность предков могла быть любой: от крестьян до мещан или купцов. Точных данных об известных исторических носителях фамилии нет, что только подчёркивает её редкость и неочевидность происхождения.