Фамилия Азуров образована от именования Азур, которое, предположительно, имеет еврейское происхождение. Согласно одной из версий, оно является фонетическим вариантом еврейского имени Аззур («помощник») или Азор («сильный, крепкий»). Не исключено, что имя Азур является диалектным вариантом восточного имени Хазар, которое в переводе с арабского означает «ведущий оседлую жизнь; городской житель», «тысяча». Часто это имя давалось детям с пожеланием долгой жизни.