Фамилия Азуровы — редкий пример того, как еврейская именная традиция соединилась со славянской моделью фамилии. В основе фамилии лежит личное именование Азур. Его происхождение спорно, но наиболее убедительная версия связывает его с еврейским именем Аззур, что значит «помощник», или с именем Азор — «сильный, крепкий». Оба варианта встречаются в библейской ономастике, хотя и не настолько широко, как, скажем, Авраам или Ицхак.

Менее вероятна, но всё же возможна версия, что Азур — это диалектная форма имени Хазар. В арабском языке Хазар имеет значения «городской житель» или «тысяча», и такое имя могли давать ребёнку с пожеланием долгой, полной жизни. Однако переход «х» в «а» в начале слова нехарактерен для славянской передачи восточных имён, поэтому эта гипотеза уступает первой по правдоподобию.

Ключевая деталь — суффикс -ов. В фамилиях еврейского происхождения он указывает не на принадлежность боярскому или крестьянскому роду, а на территорию: фамилия сформировалась на землях, где население говорило по-русски или по-украински. То есть предок Азуровых жил в черте оседлости, скорее всего на территории современной Украины, Беларуси или западных губерний России, и его потомки получили фамилию по отцу — Азур, Азуров сын.

Фамилия остаётся малочисленной. Сказать, к какому сословию принадлежали первые носители, без данных переписей невозможно: это могли быть и мещане, и купцы, и ремесленники. Точное время появления фамилии тоже не установлено, но в основной массе еврейские фамилии с суффиксом -ов фиксируются в документах конца XVIII — первой половины XIX века, после указов о всеобщей паспортизации еврейского населения Российской империи.