Фамилия Азурова образована от мужского имени или прозвища Азур. Вопреки возможному внешнему сходству с отглагольными формами, её корень, скорее всего, не славянского, а восточного или еврейского происхождения. На это указывает и сама основа — редкое для русских фамилий имя Азур, и её варианты, зафиксированные в ономастике.

Самой убедительной выглядит версия, связывающая Азура с еврейским именем Аззур. В переводе с иврита оно означает «помощник» или «поддерживающий». Это имя встречается в Библии, что придаёт версии вес. Менее вероятен, но возможен вариант, при котором Азур — это диалектное или фонетическое искажение имени Азор («сильный», «крепкий»). Обе гипотезы укладываются в модель образования фамилии: имя Азур (как вариант Аззур или Азор) плюс типичный русский патронимический суффикс -ов, который указывает на принадлежность («сын Азура»).

Существует и третья, более спорная версия. Согласно ей, имя Азур могло быть диалектным вариантом восточного имени Хазар. Арабское слово «хазар» имеет несколько значений: «ведущий оседлую жизнь», «городской житель», а также «тысяча». В этом случае имя давали с пожеланием долгой и благополучной жизни. Однако фонетический переход «хазар» → «азур» не является типичным, поэтому эта гипотеза уступает первой по правдоподобию.

С точки зрения словообразования фамилия Азурова — редкий случай. В русской модели фамилий на -ов женская форма (Азурова) образуется от мужской (Азуров), а та, в свою очередь, от личного имени. Суффикс -ов здесь работает стандартно, указывая на происхождение от отца. Если бы основа была славянской (например, от слова «азур» как вариант «лазурный»), фамилия, скорее всего, писалась бы через «л» — Лазуров, и имела бы совсем другую историю.

Таким образом, предок носителей фамилии Азуровых, вероятно, был человеком по имени Азур, корни которого уходят в еврейскую или, с меньшей вероятностью, восточную ономастику. Фамилия эта — нечастая, и её происхождение напрямую связано с личным именем, а не с профессией или местностью.