Фамилия Азяк — редкая и необычная, её происхождение почти наверняка связано с тюркскими языками. В русской среде фамилии на -як, -ак (ср. Табак, Кулак, Собак) часто образовывались от прозвищ, и Азяк, скорее всего, не исключение. Основа «аз» в тюркских языках означает «мало, немного» или выступает как глагольный корень со значением «заблудиться, сбиться с пути». Отсюда прозвище Азяк могли дать человеку невысокого роста, незначительному («маленький») либо рассеянному, тому, кто часто плутал. Вторая версия, менее вероятная, возводит фамилию к арабскому имени Азиз («дорогой, могучий») через тюркское посредство: Азиз → Азяк, с усечением и адаптацией звучания.

Географически фамилия встречается в Татарстане, Башкортостане и среди казанских татар, а также у русских, живущих в Поволжье. Это указывает на то, что носитель фамилии — потомок человека, получившего тюркское прозвище в XV–XVII веках, когда русские и татары активно смешивались. В русском контексте фамилия застыла без суффикса -ов или -ин, что редкость: обычно прозвище Азяк превратилось бы в Азяков или Азякин. Отсутствие патронимического суффикса может говорить о том, что фамилия оформилась поздно, уже в XIX веке, когда фиксировали прозвище в исходном виде, или о том, что она происходит не от русского, а от татарского родового имени.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Азяков, Азякин, Азяковский) показывает, что Азяк — самая старая, «сырая» форма, без грамматической обработки. В словарях Б. Унбегауна фамилия не упоминается, что подтверждает её локальный, почти микрорегиональный характер. Если ваш предок носил фамилию Азяк, он, вероятно, был крестьянином или мелким ремесленником из татарской или смешанной среды, а прозвище ему дали за малый рост или за неспособность держать путь — в прямом или переносном смысле.