Фамилия Азява — редкий случай, когда прозвище перешло в фамилию почти без изменений, без типичных русских суффиксов -ов, -ин или -ский. Это так называемая «неоформленная» фамилия, то есть застывшая в форме имени или прозвища. В русской ономастике такие фамилии чаще встречаются на Украине и в Белоруссии, но и в России, особенно в южных и западных регионах, они не редкость.

Корень «азяв» или «озяб» в русских говорах имеет прозрачную связь с глаголом «зябнуть» — мёрзнуть, коченеть от холода. В диалектах слово «зява» или «азява» могло означать зябкого, мерзлявого человека, того, кто постоянно кутается и не выносит холода. Прозвище давали либо по физической особенности (человек легко простужался), либо по поведению («вечно мёрзнет»). Сравните с однокоренными фамилиями Зябликов, Зяблов, Озябликов — все они из того же гнезда.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с диалектным «зява» в значении «ротозей», «раззява». В некоторых говорах «зява» — это тот, кто зевает, зазевался, что-то упустил. Однако по звучанию «Азява» ближе к «озябшему», чем к «раззяве»: приставка «о-» (или «а-» в безударном положении) указывает на состояние (ср. озяб, охрип, ослеп). Поэтому первая версия надёжнее.

Географически фамилия Азява крайне редка. Основной массив носителей встречается в западных областях России (Смоленская, Брянская) и на востоке Белоруссии. Встречаются единичные случаи на Урале, куда фамилия могла попасть с переселенцами. Социальный состав предков — скорее всего, крестьяне или однодворцы, у которых прозвище закрепилось как фамильное имя без дополнительного суффикса, что характерно для простонародной среды XVI–XVII веков.

В написании фамилии возможна вариативность: в старых документах могли писать «Азява» и «Озява» (через «о», как более этимологичное). Современная форма через «а» закрепилась под влиянием акающего произношения. Если вы носитель этой фамилии, ваши предки почти наверняка жили на стыке великорусских и белорусских земель, а прозвище им дали за заметную зябкость или, реже, за рассеянность.