Фамилия Бабичек — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти не изменилось за столетия. Если убрать суффикс -ек, останется «бабич» — именно так в южнославянских и западнославянских говорах называли сына бабы. Но не в смысле «женщина», а в значении «бабка» или «повитуха». То есть Бабичек — это «сын повитухи» или, что вероятнее, «внук бабки». Уменьшительный суффикс -ек здесь работает не как ласкательный, а как указание на прямое родство: Бабичек — буквально «маленький Бабич», младший в роду.

Корень «баб-» в славянских фамилиях многозначен. В польском и украинском «баба» — не обязательно старуха, часто это знахарка, ворожея или та самая повивальная бабка. В чешском «babička» — бабушка, но «babit» — заниматься колдовством. Поэтому фамилия могла закрепиться за внуком или сыном женщины, к которой ходили за травами и заговорами. В русских землях такое прозвище тоже встречалось, но чаще в форме Бабичев или Бабич без уменьшительного суффикса. Форма на -ек характерна для польского, чешского и словацкого ареала — там суффикс -ek образует фамилии от прозвищ с тем же корнем (сравните: Коваль — Ковалек, Пташник — Пташнек).

Географически фамилия Бабичек встречается в основном в западных регионах бывшей Речи Посполитой — на территории современной Польши, Беларуси и Украины. В России она редка и чаще всего фиксируется у потомков переселенцев или людей с польскими корнями. В дореволюционных метрических книгах можно найти варианты написания Бабичек и Бабичок — это следы живой устной традиции, когда гласная в суффиксе колебалась под влиянием местных говоров.

По социальному происхождению носители фамилии в XIX веке относились к крестьянскому или мещанскому сословию. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано — слишком «простой» корень, указывающий на женское ремесло, а не на службу или владение землёй. В польских шляхетских гербовниках Бабичек не значится, хотя однокоренная Бабич встречается среди мелкой шляхты.

Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в документах Волынской, Гродненской или Минской губерний, а также в метриках католических приходов. Фамилия не переводится как «бабочка» — это народная этимология, к реальному значению она отношения не имеет.