Фамилия Бабйцкая — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Её основа «баб-» сразу наводит на мысль о родстве со словом «баба», но суффикс и окончание заставляют искать другое объяснение. Дело в том, что фамилии на -йцкий (а не на -цкий или -ский) встречаются нечасто. Скорее всего, перед нами не русская, а украинская или белорусская фамилия, адаптированная под русское окончание -ая.

Разберём словообразовательную цепочку. В украинском и польском языках есть суффикс -ец (или -єць), образующий названия жителей по местности: например, «львовец» — житель Львова. Если добавить к такому слову суффийкс -к- (принадлежность) и окончание -ая, получится фамилия, означающая «женщина из рода того, кто звался Бабец» или «относящаяся к месту Бабцы». То есть исходной формой для мужчины могла быть фамилия Бабецкий или просто прозвище Бабец. Само слово «бабец» в украинских говорах означало «женоподобный мужчина», «увалень» или, в ироничном смысле, «бабник». Прозвище могли дать человеку с мягким характером, любителю женского общества или, наоборот, тому, кто много времени проводил с женщинами (например, повитуха-мужчина, что редко, но встречалось).

Вторая версия — топонимическая. На западе Украины и в Польше есть сёла и хутора с названиями Бабцы, Бабче. Житель такого села получал прозвище «бабец» или «бабчанин», а его потомки — фамилию Бабйцкий. Форма с «й» могла возникнуть из-за местного произношения: в некоторых говорах «бабец» звучит как «бабій» (сравните с украинским «бабій» — тот же бабник). Отсюда и фамилия Бабійцький, которая при русификации дала Бабйцкая.

Суффикс -йцк- вместо более привычного -цк- — это диалектная черта, характерная для Полесья и Волыни. Если ваши предки носили эту фамилию, можно с высокой вероятностью предположить, что их корни — в западных областях Украины или в юго-восточной Польше. Сословной привязки у фамилии нет: её могли носить и крестьяне, и мещане, и духовенство (униатские священники часто брали фамилии по названиям сёл).

В русском языке фамилия выглядит чужеродно из-за сочетания «йц», которое редко встречается в исконных русских фамилиях. Это ещё один аргумент в пользу её западнославянского или украинского происхождения.