Фамилия Баеаев — редкий случай, когда написание почти наверняка искажено при передаче или записи. В академических словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна или В. Никонова) такой формы нет. С высокой вероятностью перед нами опечатка или диалектный вариант фамилии Баев, Баяев или Басаев. Разберём самый логичный вариант.

Если исходить из того, что основа — «Бае-», а суффикс «-аев» — это фонетическое или графическое искажение стандартного «-ев», то фамилия образована от прозвища или имени Баян (тюркское «богатый», «могучий») либо от русского глагола «баять» (говорить, рассказывать). В первом случае предок мог быть потомком человека по имени Баян — имя было распространено у татар, башкир и других тюркских народов, а затем попало в русскую среду. Во втором случае прозвище Баян давали красноречивому сказителю, балагуру или колдуну-заклинателю (от «баять» — заговаривать, лечить словом).

Суффикс «-ев» (в оригинале «-ев», а не «-аев») указывает на принадлежность: «сын Баяна» или «из рода Баяна». Форма «Баеаев» с двойным «а» могла возникнуть при переписи, когда писарь на слух записал фамилию с растянутым гласным или соединил два суффикса. В русской ономастике известна фамилия Баев (от «бай» — богач, хозяин), а «Баеаев» — её крайне редкая разновидность.

Географически фамилия могла закрепиться в Поволжье, на Урале или в Сибири — регионах, где активно смешивались русские и тюркские фамильные модели. Если ваши предки носили именно Баеаев, стоит проверить архивные записи XIX века: в метрических книгах фамилию могли записать как Баев, Баяев или даже Боев. Единичные случаи такого написания встречаются в документах по Астраханской и Оренбургской губерниям.

Таким образом, происхождение фамилии двояко: либо от тюркского имени со значением «богатство», либо от древнерусского глагола, связанного с речью и заклинаниями. Точнее определить поможет только знание региональной истории семьи — например, были ли предки крестьянами-переселенцами или служилыми людьми из татарских родов.