Фамилия Баевкина — женская форма, а её мужской вариант — Баевкин. В центре внимания здесь не столько корень, сколько редкий суффикс. Большинство русских фамилий образуется с помощью -ов/-ев или -ин, но -кин встречается заметно реже и указывает на специфическую модель: не просто «чей-то», а «чей-то маленький» или «чей-то сын/дочь». Суффикс -к- в основе (Баевк-ин) часто добавлялся к прозвищу или имени, которое само по себе уже было уменьшительным. То есть Баевкин — это не прямой потомок Бая, а потомок человека, которого звали уменьшительно Баевка.

Корень фамилии — «Баев-». Он восходит к древнерусскому нецерковному имени или прозвищу Бай. В старину «баять» означало говорить, рассказывать, заговаривать. Бай — это сказитель, говорун, иногда колдун или знахарь, умевший «баять» (заговаривать) болезни. Такое прозвище давали красноречивому человеку, поводырю или просто любителю побасенок. Имя Бай фиксируется в документах XV–XVII веков, например, в новгородских и московских писцовых книгах встречаются люди с этим именем. От него пошли фамилии Баев, Баевский и, через уменьшительную форму, Баевкин.

Версия о тюркском происхождении менее вероятна, хотя слово «бай» (богач, господин) есть во многих тюркских языках. Но для фамилии с таким суффиксом типично славянское гнездо: Бай → Баев → Баевка (сын или дочь Бая) → Баевкин. Если бы корень был тюркским, фамилия скорее приняла бы форму Баев или Байкин без промежуточной ступени.

Географически фамилия Баевкина тяготеет к центральным и северным областям России: встречается в архивах Вологодской, Костромской и Кировской губерний. В этих краях было много «бающих» — знахарей и сказителей, что косвенно подтверждает прозвищную природу фамилии. Сословно фамилия чаще всего крестьянская или мещанская, дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. Так что предки носителя фамилии Баевкина, скорее всего, были людьми слова — не обязательно грамотными, но умевшими ладно говорить или лечить заговорами.