Фамилия Багаутденова — женская форма фамилии Багаутденов, а та, в свою очередь, восходит к арабскому мужскому имени Багаутдин (варианты: Багаутдин, Бахаутдин). Имя это составное: первая часть «бага» (или «баха») означает «блеск», «красота», «роскошь», вторая — «дин» — «вера», «религия». В целом имя Багаутдин можно перевести как «красота веры» или «великолепие религии». Это типичное для мусульманских народов теофорное имя, то есть имя, прославляющее Бога через религиозные понятия.

Фамилия образована по русской словообразовательной модели с суффиксом -ов, который в женском варианте даёт -ова. Такие фамилии на -ов/-ев у тюркских и кавказских народов (татары, башкиры, народы Дагестана) часто возникали при русификации документов в XIX–XX веках, когда к имени отца или деда прибавляли русский суффикс принадлежности. То есть Багаутденов — буквально «сын (или потомок) Багаутдина».

Интересная деталь: написание «Багаутденова» с буквой «е» после «д» — это частый вариант транскрипции арабского имени. В классическом арабском звучит «Бахауддин», но в тюркских языках (татарском, башкирском) произношение смягчилось, появился звук «е» или «э», отсюда и форма «Багаутдин» → «Багаутденов». Встречаются и варианты с «а»: Багаутданов, но это более редкая орфография.

С точки зрения географии, фамилия распространена прежде всего среди татар и башкир, а также встречается у народов Северного Кавказа (кумыки, ногайцы). В метрических книгах и ревизских сказках XIX века такие фамилии фиксировались редко — чаще писали просто по имени и отчеству. Массово фамилии закрепились у мусульманских народов после 1917 года, когда паспортная система требовала единой записи.

Если ваши предки носили фамилию Багаутденовы, скорее всего, они происходят из среды мусульманского духовенства или зажиточных крестьян: имя Багаутдин давали в семьях, где ценили религиозное образование. Хотя прямых доказательств этому нет, такая гипотеза правдоподобнее, чем связь с каким-либо ремеслом или прозвищем.