Фамилия Багайлюк украинская по форме и, скорее всего, по происхождению. Её основа — прозвище Багай, которое в некоторых областях Украины давали шалуну или озорнику. Но это лишь одна из версий, и она не единственная. Слово «багай» встречается в тюркских языках: в шорском оно означает «плохой», а в ряде других тюркских наречий багаями называли казахов. Поэтому прозвище могло указывать не на характер, а на этническую принадлежность предка — например, на выходца из степных народов, с которым столкнулись украинские переселенцы.

Суффикс -юк в фамилии — типичный для украинской ономастики. Он образует фамилии от личных имён и прозвищ, указывая на родство: Багайлюк — это «сын Багая» или «потомок Багая». Такая модель распространена на Западной Украине, особенно в Подолье и на Волыни. Если ваш предок носил прозвище Багай, то со временем его дети и внуки стали Багайлюками.

Сравните с однокоренными фамилиями: Багай, Багаев, Багайло. Последняя, кстати, тоже украинская, но с другим суффиксом. Багайлюк стоит в одном ряду с такими фамилиями, как Ковалюк, Павлюк, Романюк — все они говорят о происхождении от человека с определённым именем или прозвищем.

География фамилии сегодня — в основном Украина, а также южные регионы России и Беларусь, куда переселялись украинцы. Встречается она нечасто, но устойчиво. Сословной принадлежности предков по одной фамилии не определить: Багайлюками могли быть и казаки, и крестьяне, и мещане. Если хотите узнать точнее, стоит обратиться к архивным метрическим книгам по месту проживания семьи — например, в Хмельницкой или Житомирской областях.