Фамилия Багенский — редкий пример, где географическая привязка почти наверняка перевешивает личное прозвище. В её основе лежит топоним, а суффикс -ский прямо указывает на дворянскую или шляхетскую модель образования: так в Польше, Беларуси и на западе России оформляли фамилии владельцев поместий или выходцев из определённой местности.

Корень Баген- восходит к названию населённого пункта. Наиболее вероятный кандидат — деревня Багени (или Багены), следы которой встречаются в исторических документах на территории бывшего Великого княжества Литовского, особенно в районе современной Гродненской области Беларуси и приграничных польских земель. Название деревни, в свою очередь, могло произойти от слова «багно» — так в западнорусских и белорусских говорах называют топкое болото, трясину. То есть Багенский — это «тот, кто из Багеней», а сами Багени — «поселение у болота». Такая связь с ландшафтом типична для многих фамилий на -ский: достаточно вспомнить Болотского, Озёрского или Заболоцкого.

Менее убедительна версия о происхождении от личного имени или прозвища Багеня. В ономастике такое имя не зафиксировано как распространённое, а попытки вывести его из скандинавского или немецкого корня (например, от Bagge — «кабан») выглядят натяжкой: для фамилии с польским суффиксальным оформлением это слишком далёкая и неподтверждённая гипотеза.

Фамилия Багенский не входит в число массовых русских фамилий, но её носители встречаются и в России, и в Беларуси, и в Польше (в польском варианте — Bagiński, что звучит как «Багеньски»). В русской среде она могла возникнуть двумя путями: либо как наследие польской шляхты, перешедшей на службу к русским царям после разделов Речи Посполитой, либо как фамилия, искусственно присвоенная семинаристам или выходцам из духовного сословия по месту рождения. Второй вариант, впрочем, менее вероятен: семинарские фамилии чаще давали по названиям церквей или по латинизированным формам, а не по мелким деревням.

Так что если вы Багенский, ваши предки скорее всего жили на болотистых землях запада, а сама фамилия — это не прозвище, а метка места, откуда пошёл род.