Фамилия Бакошкина — женская форма фамилии Бакошкин, и её разумнее всего разбирать через мужской вариант. В основе лежит прозвище или нецерковное имя Бакошка. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей сын?» — Бакошкин, то есть потомок человека по прозвищу Бакошка.

Что такое «бакошка»? В русских говорах это слово многозначно, и тут стоит обратиться к диалектной лексике. В рязанских, тамбовских и владимирских говорах «бакоша» или «бакошка» — ласковое обращение к младенцу, малышу, иногда с оттенком «баловень», «неженка». Сравните с «бакать» — говорить «бай-бай», убаюкивать. Таким именем-прозвищем могли наделить младшего ребёнка, любимчика в семье, а впоследствии оно закрепилось за родом. Вторая, менее распространённая версия, отсылает к «бака» (ротозей, разиня) — тогда прозвище носило бы шутливый или укоризнительный характер.

Фамилия Бакошкин встречается нечасто, но имеет устойчивую географию. По данным переписей и архивных записей XIX века, основная зона бытования — центральные губернии России: Рязанская, Тамбовская, Пензенская, а также Нижегородская область. Это говорит о том, что фамилия сформировалась в крестьянской среде, где прозвища на -ошка (типа Лёвошка, Мирошка, Тимошка) были нормой. Модель образования простая и архаичная: от имени-прозвища на -а/-я через притяжательный суффикс -ин.

С точки зрения словообразования, Бакошкин стоит в одном ряду с фамилиями Бабошкин, Дедошкин, Дядошкин — все они образованы от ласкательных или уменьшительных форм родственных или бытовых прозвищ. Никакой связи с тюркскими или иными заимствованиями здесь нет: корень чисто славянский, диалектный. Если вы носитель этой фамилии, ваши предки, скорее всего, были крестьянами из средней полосы России, а прозвище родоначальника звучало тепло и по-домашнему.