Фамилия Балыклейский — географическая. Её основа — название населённого пункта: села Балыклей или Балыклея. Таких на юге России и в Поволжье несколько: Балыклей в Волгоградской области, Балыклей в Тамбовской, Балыклея в бывшей Саратовской губернии. Формант -ский (в женском роде -ская) указывает на дворянское или духовное происхождение: в XVIII–XIX веках такие фамилии давали детям священников и помещикам по названию места службы или владения. Простой крестьянин, скорее всего, получил бы фамилию Балыклеев или Балыклейцев — с более «низовыми» суффиксами.

Разбираем топоним. Балыклей — слово тюркское, от «балык» — рыба, и суффикса -лы, образующего прилагательное. «Балыклы» значит «рыбное место». Название села буквально переводится как «рыбное» или «обильное рыбой». Это типичный ойконим для южных степных рек, где в изобилии водилась рыба — например, в притоках Дона и Волги. Так что предки Балыклейских жили при рыбном месте, а фамилию получили уже по селу, а не по рыбе напрямую.

Словообразовательный нюанс: фамилия не слишком частотна. Она стоит в ряду таких же «географических» фамилий на -ский, как Балашовский, Камышинский, Царицынский. Но если те образованы от названий городов, то Балыклейский — от названия села, что реже. Это сразу говорит о локальном происхождении: род, скорее всего, не столичный, а из волжского или донского захолустья, где село Балыклей было заметным центром.

Исторический контекст. В документах XVIII века упоминаются церковнослужители с фамилией Балыклейский — например, в исповедных росписях Астраханской епархии. Это подтверждает версию о духовном сословии: семинаристы часто брали фамилию по месту первого прихода. Если предок был священником в селе Балыклей, сын мог получить фамилию Балыклейский уже при поступлении в училище.

Итого: фамилия указывает на южнорусские или поволжские корни, на связь с рыбным промыслом (через название села) и, вероятнее всего, на принадлежность к духовенству или мелкопоместному дворянству. Точнее сказать трудно без генеалогического поиска, но географическая привязка даёт хорошую отправную точку для семейного архива.