Фамилия Бандример — крайне редкая, и её разбор требует обращения сразу к нескольким возможным источникам, потому что на слух она звучит не по-русски. В исконно русских фамилиях нет суффикса -ер, который типичен для немецких и еврейских (ашкеназских) фамилий, образованных от названий профессий. Поэтому первое и самое правдоподобное предположение: Бандример — это вариант немецкой или австро-баварской фамилии Bandriemer или Bandriemer.

Словообразовательная модель здесь прозрачна: основа Band + суффикс деятеля -er. Немецкое «Band» может означать «лента», «тесёмка», «связка», а в южных диалектах — «обруч» или «оковка». Соответственно, Bandriemer — это мастер, изготавливающий ленты, тесьму или, что вероятнее, работающий с обручами (например, бондарь, который стягивает бочки). Вторая часть, -riemer, могла быть диалектным вариантом от «Riemer» — шорник, ременщик. Тогда фамилия могла означать «мастер по ремням и лентам». В любом случае, предок носителя фамилии был ремесленником, имевшим дело с узкими полосами материала — кожи или ткани.

Менее вероятная, но возможная версия — искусственное происхождение. Фамилии на -ер в XVIII–XIX веках нередко придумывали в еврейских местечках (черта оседлости) по указу о присвоении фамилий. В таком случае основой могло стать идишское «банд» (банда, группа) или немецкое «Band» в переносном смысле — «узы, связь». Тогда Бандример могло означать «связующий», «объединяющий» — но это гипотеза без твёрдой опоры на документы.

В русском языке фамилия не адаптировалась: нет типичных суффиксов -ов, -ин, -ский. Это говорит о том, что она попала в Россию уже в сложившемся виде, скорее всего, с переселенцами из немецких колоний Поволжья или Причерноморья, либо с еврейскими мигрантами из Австро-Венгрии. Географически в современных базах данных Бандримеры встречаются единично, в основном на юге России и в Украине, что косвенно подтверждает немецкий или еврейский след.

Итог: фамилия Бандример — профессиональное прозвище ремесленника (ленточника, тесёмочника или шорника), пришедшее из немецкоязычной среды. Её носители, скорее всего, потомки мастеровых людей из немецких колоний или местечек Западного края.