Фамилия Барэн — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение лежит не в славянской, а во французской языковой среде. В основе лежит французское слово baron — «барон», дворянский титул. Однако в России эта фамилия почти никогда не была связана с реальным баронством. Чаще всего она появлялась у потомков французских эмигрантов, которые оказались в Российской империи после Великой французской революции или наполеоновских войн. Среди них были гувернёры, ремесленники, офицеры на русской службе — люди, которые приехали не с титулом, а с фамилией, звучавшей для русского уха как «Барэн».

Словообразовательная модель здесь прозрачна: фамилия не получила русского суффикса (-ов, -ин, -ский), а сохранилась в исходной иноязычной форме. Это отличает её от подавляющего большинства русских фамилий и указывает на то, что её носители либо долго сохраняли французское гражданство, либо принадлежали к семьям, которые не ассимилировались до степени переделки фамилии на русский лад. Встречается написание через «э» — Барэн, реже через «е» — Барен, что связано с особенностями передачи французского открытого «е» на письме.

Существует и другая, менее вероятная версия: фамилия могла возникнуть у еврейских носителей как вариант фамилии Баран или Берен, но под влиянием французского произношения. Однако для этого нет устойчивых документальных подтверждений, и большинство случаев в метрических книгах XIX века указывают именно на французские корни. Географически фамилия встречалась в Москве и Санкт-Петербурге, среди обрусевших французов, а также в Одессе, где была значительная французская колония.

Если ваши предки носили фамилию Барэн, скорее всего, они были не титулованной знатью, а представителями той прослойки европейцев, которые принесли в Россию ремёсла, языки и образование. Фамилия не получила широкого распространения и осталась редкой — это её главная особенность.