Фамилия Баршадская — женская форма фамилии Баршадский, и её разбор стоит начать с суффикса, который сразу указывает на географическое происхождение. Суффикс -ск- в русских фамилиях традиционно прикреплялся к названиям мест: сёл, городов, урочищ. Баршадский — значит «выходец из Баршада» или «владелец земель в Баршаде». Вопрос упирается в то, что такое Баршад.

Скорее всего, основа Баршад- восходит к названию населённого пункта в западной части исторической Беларуси или Польши. В Гродненской области Беларуси есть деревня Барташи (старое название могло звучать иначе), но ближе по звучанию — местечко Барщады или Баршады в бывшем Новогрудском воеводстве. В польской ономастике фамилия Barszczadzki встречается с XVI века и связывается с селом Barszczady (современная Подляшье). Русская передача через «а» вместо «щ» — обычное дело при адаптации польских названий: Barszczady → Барщады → Баршады. Так что Баршадская — это потомки тех, кто жил в Барщадах или владел там землёй.

Вторая, менее вероятная версия — от прозвища Баршад, образованного от тюркского «барс» (хищник) с добавлением персидского «-ад» (дающий). Но для восточнославянской фамилии такое сложное заимствование маловероятно: проще объяснить её через польско-белорусскую топонимику, тем более что суффикс -ский в России чаще давали дворянам и шляхте, а в Беларуси и Польше — любой семье, записанной по месту жительства.

Сословная принадлежность Баршадских могла быть разной: от мелкой шляхты (однодворцев) до крестьян, получивших фамилию при переписи. В Российской империи носители фамилии фиксировались в Виленской и Гродненской губерниях, а после 1917 года разъехались по стране. Написание через «а» после «ш» закрепилось в русских документах, хотя в польском оригинале могло быть Barszczadzka.

Таким образом, фамилия Баршадская — это типичный «географический» маркер, указывающий на корни в западных землях бывшей Речи Посполитой, скорее всего в окрестностях современной Подляшьи или Гродненщины.