Фамилия Басарыева хранит в основе прозвище, которое могло звучать как Басарыга, Басарыка или Басарый. Все эти формы восходят к диалектному глаголу «басарыжить» — то есть шуметь, скандалить, буянить. В северных и сибирских говорах слово «басарыга» означало беспокойного, вздорного человека, задиру. Соответственно, первый носитель фамилии, скорее всего, получил такое прозвище за свой неуживчивый нрав или любовь к спорам.

Модель образования здесь не самая частая. Суффикс -ев присоединился к основе, оканчивающейся на -ыг/-ык, что характерно для прозвищной лексики. Сравните с фамилиями Басарыгин, Басарыков — они образованы от тех же корней, но с разными суффиксами. Басарыева отличается от них окончанием -ев, которое указывает на принадлежность («чей?» — Басарыев сын), но в женском варианте фамилия сохраняет ту же форму, что и мужская, что типично для русских фамилий.

Есть и другая, менее вероятная версия: связь с тюркским именем Басар, что значит «надави, победи». В таком случае фамилия могла бы означать «потомок Басаря». Но против этой гипотезы говорит то, что фамилия Басарыева встречается преимущественно в русских регионах, а не в тюркоязычных. К тому же русская основа «басарыжить» даёт более прямое и объяснимое значение.

Фамилия редкая и географически привязана к северу европейской России и Уралу. В архивных записях XVIII–XIX веков носители Басарыевы фиксировались в Вятской и Пермской губерниях — в крестьянской среде. Это подкрепляет версию о бытовом, а не аристократическом происхождении: прозвище давалось в деревне, где каждый был на виду и характер человека сразу получал меткое обозначение.

В современном написании фамилия устойчива, вариант Басарыев (мужской род) встречается реже, но тоже возможен. Если вы ищете свои корни, стоит обратить внимание на переписи населения Вятской губернии — именно там, по данным ономастов, сосредоточены ранние упоминания этой фамилии.