Фамилия Башегуровы — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка связано с конкретным действием, а не с именем или профессией. В её центре — глагол «башить» (в ряде говоров — «бить», «колотить», «сильно ударять») и слово «гура» (диалектное, означавшее «шум», «гвалт», «крик» или даже «толпа»). Сложносоставное прозвище «Башегура» могли дать человеку с буйным нравом, забияке, который «башит гуру» — то есть бьёт, создаёт шум и свалку. Вторая версия, менее вероятная, выводит «гура» из южнорусского «гура» — «глиняный кувшин»; тогда «башегура» — тот, кто бьёт посуду в гневе. Но первая трактовка надёжнее: в русской ономастике известны аналогичные по модели прозвища (например, Башило, Гурин), а сочетание «бить + шум» типично для характеристики поведения.

Суффикс -ов в фамилии Башегуровы — стандартный патронимический, указывающий на принадлежность к роду: «чей?» — Башегуров, то есть потомок Башегуры. Форма множественного числа (Башегуровы) закрепилась за целой семьёй или ветвью, когда фамилия перестала быть индивидуальным прозвищем и стала наследственной. В документах фамилия встречается крайне редко, и её география тяготеет к центральным и южнорусским областям — там, где диалектное «башить» было в ходу, а не вытеснено литературным «бить». В переписных книгах XVII–XVIII веков следов Башегуровых почти нет, что говорит о позднем оформлении фамилии у непривилегированных сословий: скорее всего, это крестьянский или мещанский род, получивший фамилию после отмены крепостного права или в ходе массовой паспортизации начала XX века.

Интересно, что фамилия избежала типичных искажений: она не превратилась в Башигуров или Бошегуров, хотя в устной речи «а» после «ш» могла редуцироваться. Это говорит о том, что носители осознавали состав прозвища и старались сохранить его звучание. С однокоренными фамилиями — Башев, Башилов, Гуров — Башегуровы связаны лишь отдалённо: те образованы от других основ (Баш — от имени или тюркского «голова», Гур — от канонического Гурий). А вот «Башегура» — чисто русское бытовое прозвище, без иноязычных примесей, и в этом его ценность для историка языка. Если ваш предок носил такую фамилию, можно с уверенностью сказать, что он происходил из среды, где ценили точные, грубоватые характеристики человека по его поступкам, а не по отцу или ремеслу.