Фамилия Башенеева — женская форма фамилии Башенеев, и в её основе лежит прозвище или неканоническое имя Башеней. Словообразовательная модель здесь простая и прозрачная: суффикс -еев указывает на принадлежность («чей?» — Башенеев), то есть сын или потомок человека по прозвищу Башеней. Суффикс -ей в русских прозвищах нередко придавал уменьшительный или ласкательный оттенок, а иногда просто оформлял имя, образованное от глагольной основы.

Корень фамилии — башен- — заставляет задуматься о двух основных версиях. Первая и самая прямая: прозвище Башеней мог получить человек, связанный с башней — либо строитель, либо сторож, либо тот, кто жил в башне или рядом с ней. Однако в русской ономастике гораздо чаще встречаются прозвища, образованные от глагола «башить» — в диалектах это слово означало «бить, колотить, сильно ударять». Тогда Башеней — это драчун, задира, человек с тяжёлой рукой. Такая версия правдоподобнее, потому что прозвища по поведению и характеру в крестьянской среде были распространены шире, чем прозвища по месту жительства.

Спорный момент: можно ли связать фамилию с тюркскими корнями, например, с татарским «баш» (голова, глава)? Теоретически да, но суффикс -еев в русских фамилиях нехарактерен для тюркских заимствований — там обычно -ов/-ев напрямую. К тому же прозвище «Баш» (голова) давало бы фамилию Башев, а не Башенеев. Поэтому связь с тюркским «баш» маловероятна, хотя и не исключена полностью при условии, что промежуточная форма была Башеней (уменьшительное от Баш).

Географически фамилия редкая, её носители встречаются в основном в центральных областях России и в Поволжье. Сословная принадлежность, скорее всего, крестьянская или мещанская — такие прозвища редко давали дворянам. В документах XVII–XIX веков фамилия не зафиксирована широко, что говорит о её локальном бытовании. Если ваши предки носили фамилию Башенеевы, то, вероятно, в их роду был человек по прозвищу Башеней — драчун, силач или, наоборот, тот, кто жил у башни. Оба варианта имеют право на жизнь, но первый — от «башить» — лингвистически надёжнее.