Фамилия Башенева, скорее всего, образована от мирского имени или прозвища Башен. В русской ономастике это слово имеет два основных значения, и оба ведут в крестьянскую или посадскую среду. Первое — «башня» в старорусском произношении, то есть высокий, статный человек, которого в шутку или с уважением прозвали «как башня». Второе, менее очевидное, — диалектное «башень» (или «башенный») в значении «упрямец», «своенравный», от глагола «башить» — упрямиться, делать по-своему. В некоторых говорах «башеной» называли бойкого, задиристого человека. Какая из версий верна для конкретной семьи, сказать трудно, но обе типичны для прозвищной традиции: внешность и характер — самые частые источники фамилий.

Суффикс -ев указывает на принадлежность: Башеневы — потомки человека по прозвищу Башен. Модель образования типична для северных и центральных областей России, где фамилии на -ев часто вытесняли более древние на -ов, если основа оканчивалась на мягкий согласный или шипящий. Интересно, что фамилия не слишком распространена — встречается в основном в Вологодской, Архангельской и Кировской областях, что косвенно подтверждает связь с северными говорами, где слово «башень» фиксируется в значении «упрямец».

Стоит отметить, что фамилия Башенева — женская форма; мужской вариант — Башенев. В старых переписях и метрических книгах, если не сохранилось прямых записей, можно искать однокоренные «Башенины» или «Башневы» — это разные фамилии, но их основа может пересекаться. Например, Башенин часто возводят к литовскому или польскому корню, а Башнев — к прозвищу от «башня», но Башенев стоит особняком именно из-за мягкого окончания основы.

Если ваши предки — из крестьян или мещан, то, скорее всего, прозвище закрепилось за одним человеком в XVII—XVIII веках, а затем перешло к детям как фамилия. Дворянских родов с такой фамилией в официальных родословных книгах не значится, что тоже говорит о народном, а не служилом происхождении.