Фамилия Башкунова — женская форма, а её мужской вариант Башкунов. В основе фамилии лежит прозвище или нецерковное имя Башкун. Слово «башка» в русских говорах означало голову, а также — ум, смекалку. Соответственно, Башкуном могли прозвать человека с большой головой или, что вероятнее, сметливого, сообразительного. В некоторых диалектах «башкун» — это ещё и бойкий, дерзкий человек. Таким образом, фамилия относится к разряду «интеллектуальных» прозвищ, вроде Голованов, Умнов, Догадин.

Модель образования простая: суффикс -ов- присоединился к основе Башкун, что характерно для русских фамилий, возникших в среде крестьян и посадских людей в XVI–XVII веках. Форма на -ов указывает на принадлежность: «сын Башкуна» или «из семьи Башкуна». Фамилия довольно редкая, но встречается в нескольких регионах России, особенно в Поволжье и на Урале. В переписных книгах XVII века можно найти крестьян с именем Башкун, что подтверждает бытование этого прозвища в живой речи.

Интересно, что фамилия Башкунов не имеет отношения к тюркским языкам, хотя слово «башка» (голова) есть и в них. В русском контексте это исконное славянское образование, зафиксированное в словаре В. И. Даля. Встречаются и однокоренные фамилии: Башкин, Башков, Башуров — все они восходят к тому же корню, но с разными суффиксальными вариантами. Если ваши предки носили фамилию Башкуновы, скорее всего, они были крестьянами или ремесленниками, а родоначальник славился острым умом или бойким нравом.