Фамилия Башмашников — один из тех случаев, когда прозвище предка прямо указывает на его занятие. В основе лежит слово «башмак», заимствованное из татарского языка (basmaq). Владимир Даль в «Толковом словаре живого великорусского языка» подробно объясняет, что башмаками называли кожаную обувь на подошве, которую в его время носили почти исключительно женщины. Отсюда логичный вывод: прозвище Башмашник получил сапожник, шивший такую обувь.

Важнее здесь не столько корень, сколько модель образования. К основе «башмак» прибавили суффикс -ш- — характерный для северо-западных русских говоров. Обычно прозвища мастеров образовывали через суффикс -ник (башмачник), но вариант с -ш- (башмашник) выдаёт региональную особенность. Поэтому основатель рода Башмашниковых, скорее всего, жил в северо-западных губерниях Российской империи — там, где язык допускал такое словообразование.

Фамилию закрепили по стандартной модели: прозвище отца (Башмашник) плюс суффикс принадлежности -ов. В итоге «Башмашников» означает «сын Башмашника», то есть потомок мастера, делавшего башмаки. Никаких иных версий — от имени или географического названия — у этой фамилии нет, и притягивать их не стоит: прозвище по ремеслу здесь наиболее прямое и подтверждённое словарём Даля.

Встречаемость фамилии невысокая, что тоже косвенно говорит о её локальном происхождении. В современных справочниках и телефонных базах Башмашниковы чаще всего фиксируются в тех же регионах, где когда-то бытовало слово «башмашник» — в Псковской, Новгородской, Ленинградской областях. Так что, если вы носите эту фамилию, скорее всего, ваши предки были сапожниками с северо-запада России.