Фамилия Башушков — редкий случай, когда суффикс и основа вступают в очевидное противоречие. На первый взгляд перед нами типичная патронимическая модель на -ов: Башушк-ов, то есть «сын Башушка». Но вот с самим прозвищем Башушк всё не так просто.

Самая правдоподобная версия отталкивается от диалектного глагола «башу́шкать» — в русских говорах Вологодчины и Архангельской области так говорили про болтовню, пустую речь или ласковое воркование с ребёнком. Прозвище Башушка могли дать человеку словоохотливому, любителю поговорить, либо, наоборот, тому, кто сюсюкал, говорил невнятно. Суффикс -к- здесь уменьшительно-пренебрежительный, что типично для прозвищ: от Башу́шка через «усечение» до Башушк, а затем и фамилия.

Менее вероятна связь с тюркским «баш» (голова). В этом случае ожидалась бы фамилия Башев, Башов или Башков. Форма Башушков с двойным суффиксом -ушк- для тюркских заимствований нетипична и выглядит как позднее русское переосмысление, а не прямой перенос.

Географически фамилия тяготеет к северу и северо-западу России: в переписях XIX века Башушковы встречаются в Вятской и Вологодской губерниях, единичные записи — в Новгородской. Сословно — почти исключительно крестьяне и мещане, дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

С точки зрения словообразования фамилия примечательна тем, что сохранила в основе редкий диалектный глагол, не перешедший в литературный язык. Если ваш предок носил прозвище Башушка, он, скорее всего, был из северных говоров и отличался общительностью — либо, напротив, заслужил прозвище за манеру говорить «по-детски».