Фамилия Басивская — яркий пример «географической» модели, когда прозвище или фамилия человека привязывала его к месту жительства. Основа здесь — топоним (название населённого пункта) Басиво или Басива. Такие названия встречаются в западнорусских и украинских землях, где суффикс -ск- традиционно указывал на принадлежность к местности. Скорее всего, предок носителя фамилии был выходцем из села или хутора с похожим именем: Басиво, Басивка или Басово.

Корень «бас» в славянских говорах многозначен. В одних диалектах «бас» — это краса, щегольство, стать (отсюда «баской» — красивый, нарядный). В других — низкий голос, бас. Третья версия ведёт к тюркскому «бас» — голова, глава, начальник. Выбрать одну из них без точных данных о регионе сложно. Но если фамилия действительно образована от названия деревни, то значение корня для нас вторично: важно, что прозвище дали по месту, а не по черте характера.

Суффикс -ск- в фамилии Басивская — классический признак дворянского или шляхетского происхождения в Польше, Беларуси и на западе России. В XVII–XIX веках такие фамилии на -ский/-цкий часто получали мелкие помещики, однодворцы или крестьяне, которых записывали по названию имения или села. Однако не стоит думать, что все Басивские — потомки аристократов. В XIX веке эту модель активно перенимали и крестьяне, особенно при переходе в духовное сословие или при переезде в город.

Форма «Басивская» — женская, мужской вариант — Басивский. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Баси́вская. Встречается фамилия редко, что говорит о её локальном происхождении. Сравните с однокоренными Басов, Басков, Басистов — все они от того же корня «бас», но образованы разными суффиксами. Басивская стоит особняком: она не от имени или прозвища, а от названия места, которое само могло произойти от речки, урочища или фамилии первопоселенца.

Если ваши предки носили эту фамилию, стоит поискать в метрических книгах Волынской, Гродненской или Киевской губерний — именно там чаще всего встречаются топонимы с основой «бас». Возможно, вы найдёте деревню Басивка, которая и дала начало роду.