Фамилия Баслаковская — это женская форма фамилии Баслаковский, а та, в свою очередь, образована от названия населённого пункта. Модель на -ский/-цкий в славянской ономастике почти всегда указывает на географическое происхождение: так называли человека, который родом из села или поместья с похожим именем.

Искать корень стоит в топонимах Баслаки или Баслаково. Такие названия встречаются в Белоруссии и на западе России. Например, деревня Баслаки есть в Витебской области (Беларусь). Если предположить, что основа — «баслак», то здесь возможна связь с тюркским словом «баслык» (главный, старший) или с диалектным русским «басло» (краснобай, говорун). Вторая версия выглядит правдоподобнее: прозвище Баслак могли дать бойкому, речистому человеку, а затем оно перешло в название его хутора или выселка.

Обратите внимание на суффикс -овск-: он типичен для фамилий, образованных от названий на -ово/-ево. Это значит, что первоначально существовало село Баслаково, а его житель стал Баслаковским. Такая модель была особенно распространена среди польской шляхты и западнорусского дворянства, а также среди духовенства, которому часто давали «географические» фамилии при поступлении в семинарию. Поэтому носители фамилии Баслаковская, скорее всего, имеют корни в западных губерниях Российской империи (Смоленская, Могилёвская, Витебская).

Фамилия довольно редкая, что подтверждает её узколокальное происхождение — от одного конкретного села или рода. В отличие от массовых патронимических фамилий на -ов/-ев, Баслаковская сохранила связь с местом, а не с именем предка. Если ваши предки были крестьянами, то фамилию они могли получить после отмены крепостного права, когда бывшим помещичьим крестьянам нередко записывали прозвище по названию их бывшего владения или деревни.