Фамилия Бассардинская — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает прозвищную версию. Скорее всего, перед нами не фамилия от личного имени или ремесла, а «географическая» — образованная от названия населённого пункта с помощью суффикса -ск-.

Основа здесь — топоним Бассардино или Бассарда. Такие названия могли возникнуть от прозвища или фамилии первого поселенца (Бассарда), но сама фамилия Бассардинская закрепилась за теми, кто владел землёй или жил в этом месте. Форма на -ская (а не -ский) однозначно указывает на женский род: в русской традиции XIX — начала XX века так записывали жену или дочь помещика Бассардинского, либо учительницу, попадь́ю, мещанку, получившую фамилию от места рождения. Если же перед нами современная фамилия женщины, то её мужской вариант — Бассардинский.

Корень «бассард(а)» — тёмный. Первое, что приходит в голову, — связь с французским bâtard («бастард», внебрачный ребёнок). В дворянской среде XVIII–XIX веков такое прозвище-фамилия встречалось, но почти всегда в форме Бастардов или Батардин. Версия с искажением «бастард» → «бассард» возможна, но недоказуема. Более прозаичное объяснение: диалектное слово «басарга» (бестолочь, шум, суета) или тюркское «басар» (давящий, наступающий) — но связь с ними через суффикс -ин- неочевидна.

Главная зацепка — география. Фамилия Бассардинская (и мужская Бассардинский) встречается почти исключительно в документах по Смоленской, Тверской и Псковской губерниям. В этих краях было несколько усадеб и деревень с корнем «Басард-/Бассард-», часть из которых исчезла в XX веке. Если ваши предки — из этого региона, фамилия почти наверняка указывает на то, что они происходили из мелкопоместных дворян или однодворцев, владевших землёй в конкретном сельце.

В отличие от массовых фамилий на -ов/-ев, Бассардинская сохранила редкую словообразовательную модель: притяжательный суффикс -ин- + топонимический -ск-. Это говорит о том, что фамилия не «народная» (от отчества), а «книжная», канцелярская — её записали при переписи или межевании, отталкиваясь от названия имения. Такие фамилии почти не давали крестьянам, если только те не получали вольную и не брали фамилию по месту бывшей службы.

Итог: если вы носите фамилию Бассардинская, ваш предок с высокой вероятностью был связан с небольшим поместьем или селом в западной части России. Само название поместья могло восходить к прозвищу основателя, но сегодня восстановить его значение без архивных записей о конкретной деревне практически невозможно.