Фамилия Басшиева — редкий случай, когда в основе лежит не славянское имя или прозвище, а тюркское слово, причём в довольно специфической форме. Если вы ищете её происхождение, то главная зацепка — суффикс -ев, который указывает на русскую модель образования фамилий от отчества. Однако корень здесь явно нерусский.

Скорее всего, фамилия восходит к мужскому имени Баши (или Баш), которое в тюркских языках означает «голова», «глава», «вожак». Это не просто имя, а прозвище, которое давали старшему в роду, предводителю или человеку с заметной внешностью — крупной головой или высоким ростом. Соответственно, Басшиев — это буквально «сын Баши». Вариант написания через «с» и «ш» подряд (Басшиев) встречается в документах, но в современном русском языке сдвоенные шипящие часто упрощаются, поэтому фамилия могла писаться как Башиев. Форма Басшиева — женский вариант, но этимологически она ничем не отличается.

Есть и другая, менее вероятная версия: от слова «басма» (печать, оттиск, а также вид ткани) или от «басмач» (повстанец, разбойник в Средней Азии). Но здесь мешает суффикс -иев: от «басма» получилось бы Басмин, а от «басмач» — Басмачёв. Так что версия с именем Баши (Баш) остаётся основной.

Географически фамилия Басшиева тяготеет к регионам, где исторически жили тюркские народы, — это Поволжье (Татарстан, Башкортостан), Кавказ (особенно кумыкские и ногайские территории) и Средняя Азия. В русских документах XIX века такие фамилии могли фиксировать у крещёных татар или у казаков, служивших на южных границах. Сословная принадлежность предков могла быть разной: от крестьян до мелких служилых людей, но однозначно определить её без генеалогического поиска по конкретной семье невозможно.

Что касается написания: в дореволюционных метрических книгах вы можете встретить варианты Башиев, Басшиев, а иногда и Бошиев — из-за аканья или небрежности писаря. Современная форма Басшиева с двойным «сш» — это, скорее всего, результат позднейшей записи, когда фамилию старались произносить «как слышится» с твёрдым разделением.