Фамилия Батажок — редкий пример, где модель образования перевешивает всё остальное. Она стоит особняком среди сотен тысяч русских фамилий на -ов и -ин. Если вы её носитель, ваш предок почти наверняка был выходцем с запада или юго-запада России, где украинский или белорусский суффикс -ок (уменьшительно-ласкательный, как в «сынок», «ветерок») закрепился в фамильном прозвище.

Основа фамилии — «батаг» или «батаж». Это искажённое «батог» — длинная палка, посох, иногда кнут или бич. В говорах южных областей и в украинском языке слово «батiг» (батог) произносили с твёрдым «г» на конце, что на письме могло отразиться как «батаг». Суффикс -ок придал прозвищу «Батажок» значение «маленький батог» или «сын Батага». По сути, перед нами фамилия-прозвище, застывшая в уменьшительной форме: человека могли прозвать Батажком за внешнее сходство — долговязый, худой, прямой как палка, — или за характер: упрямый, «колючий», любящий поучать, раздавать тумаки.

Вторая, менее вероятная версия выводит фамилию из польского batog (кнут, плеть) через ту же уменьшительную модель. Это не противоречит географии: фамилия могла возникнуть на землях, бывших под влиянием Речи Посполитой — в современной Беларуси, на Смоленщине или Брянщине. Сословно предки Батажков, скорее всего, относились к крестьянам или казакам: прозвища от орудий труда и быта характерны именно для простонародья, а не для дворянства, которое чаще брало фамилии от имений или крестильных имён.

В написании фамилии нет вариаций — она всегда пишется через «о» в суффиксе, потому что является словарной формой (в отличие, скажем, от фамилии Батажек, которая была бы нелогична). Фамилия крайне редкая: в современных базах данных встречается единично, в основном в Краснодарском крае и на Украине. Это подтверждает южную, казачью или переселенческую историю рода.