Фамилия Батейщикова — женская форма от Батейщиков, и её разбор стоит начать с необычного суффикса -щик-. В русских фамилиях этот суффикс встречается реже, чем привычные -ов/-ев или -ин, и почти всегда указывает на род занятий: -щик (или -чик) обозначал человека по профессии (каменщик, сварщик, барабанщик). Значит, в основе фамилии лежит слово «батей» или «батея», от которого образовано название ремесла — батейщик.

Что такое «батей»? Самая прямая версия — это диалектное или устаревшее название батога, то есть палки, посоха или дубины. В некоторых говорах «батей» могли называть и более тяжёлый инструмент вроде кирки или колуна. Тогда батейщик — это тот, кто делает такие орудия, либо, что правдоподобнее для прозвища, человек, который ими пользуется: лесоруб, плотник или даже сторож с дубиной. В словаре Владимира Даля есть слово «бате́й» в значении «дубинка, палица», и это хорошо ложится на модель.

Есть и второй, менее очевидный вариант: «батей» могло быть производным от имени Бат (сокращение от Ватислав или Батимир) или от тюркского «батыр» (богатырь, храбрец). Но в этом случае суффикс -щик- выглядит чужеродно: фамилии от личных имён обычно образуются через -ов/-ев (Батеев) или -ин (Батин). А вот прозвище по занятию с -щик- — самая естественная конструкция. Поэтому версия с инструментом или орудием труда — основная.

Сам суффикс -щик- в фамилиях часто указывает на северные или центральные регионы России, где такие профессиональные прозвища были особенно распространены. В южных и западных областях чаще встречаются формы на -арь (бондарь) или -ец (кузнец). Так что географически Батейщиковы, скорее всего, родом из-под Москвы, Ярославля или Вологды.

Форма Батейщикова — притяжательное прилагательное, отвечающее на вопрос «чья?»: жена или дочь Батейщикова. В XIX веке такие фамилии закреплялись за женщинами в документах, а мужская линия носила Батейщиков. Сама фамилия недворянская: суффикс -щик- почти не встречается у знатных родов, которые предпочитали -ский или -ов. Это фамилия крестьянская или мещанская, указывающая на ремесленного предка.

Известных носителей фамилии в открытых источниках почти нет — это редкая фамилия, не попавшая в общероссийские справочники. Но её прозрачная внутренняя форма даёт чёткий портрет: предок был человеком дела, связанным с обработкой дерева или охраной, а его прозвище запомнили по инструменту.