Фамилия Батожынская — довольно редкая, и её происхождение не лежит на поверхности, если не знать польского или белорусского контекста. В отличие от большинства русских фамилий на -ский, которые образованы от названий сёл или рек, здесь основа не географическая, а предметная. Разбор начинается с корня «батог», который в восточнославянских говорах означал палку, посох, кнут или бич. В белорусском и украинском языках слово «батог» до сих пор живо: это длинный кнут пастуха или плеть, которой погоняли лошадей.

Фамилия образована по типичной для шляхетских и дворянских родов модели: к основе «Батог» добавили суффикс -ин (принадлежность) и окончание -ская. Форма Батожынская указывает на мягкое произношение корня, характерное для польского языка: в польском «batog» даёт прилагательное «batożny», а от него — фамилию Batożynska. То есть исходно фамилия звучала как Батожинская, а написание через «ы» — результат белорусского или украинского влияния, где «и» после шипящих часто передаётся как «ы» (Батожын — Батожынская). Таким образом, перед нами типичная фамилия польско-белорусского дворянского круга, образованная от прозвища или ремесла.

Кем мог быть предок, носивший прозвище Батог? Самый прямой вариант — пастух или погонщик скота, который постоянно ходил с кнутом. Но «батог» имел и переносное значение: в старину так называли орудие наказания (бить батогами), и прозвище мог получить человек суровый, строгий, либо тот, кто служил в охране или исполнял наказания. В польской шляхетской среде прозвища нередко давались по оружию или инструменту, поэтому Батог мог быть ироничным именем для воина, вооружённого не саблей, а палкой, или для управляющего, который держал слуг в страхе.

Географически фамилия тяготеет к западным землям бывшей Речи Посполитой — современной Беларуси, западной Украине и восточной Польше. В России она практически не встречается, что подтверждает её польско-литовские корни. Суффикс -инский (-ынский) характерен для родов, которые получили фамилию не от названия имения (тогда было бы Батоговский), а от личного прозвища с добавлением притяжательного суффикса. Такая модель встречается реже, но именно она отличает Батожынскую от массы топонимических фамилий на -ский.

С точки зрения словообразования, фамилия стоит в ряду таких же редких форм, как Голыньская (от голытьба), Кнутовская или Плетинская. Она не имеет отношения к монгольскому «батыр» (богатырь), как иногда пытаются объяснить любители экзотики: корень «батог» чисто славянский, известный с древнерусских времён. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходили из мелкой шляхты или зажиточных крестьян западных губерний Российской империи, где польский язык и местные говоры смешивались, создавая такие необычные написания.