Фамилия Бавольский — украинская по происхождению, что выдает суффикс -ск. В основе лежит прозвище Баволь, которое восходит к украинскому слову «бавовна» — хлопок. Скорее всего, предок носителя этой фамилии занимался выращиванием хлопка, что было редким и вполне конкретным занятием. Но прозвище могло указывать и на характер: мягкость, доброту — по ассоциации с пушистым растением. Или на внешность: очень светлые, почти белые волосы, напоминающие хлопковое волокно.

Обратите внимание на чередование л/в. В украинском языке твёрдое Л перед согласным произносится как В, и это стало отражаться на письме: Баволь вместо Баволь. Фамилия образована по модели притяжательных прилагательных с суффиксом -ск, которые изначально указывали на прозвище отца. Со временем потомок человека, которого звали Баволь, закрепил за собой фамилию Бавольский.

По сословной принадлежности данных почти нет, но суффикс -ск чаще встречается у шляхты или духовенства, хотя в украинской среде он мог появляться и у казаков, и у крестьян. Точной географии бытования фамилии тоже не сохранилось — вероятно, она локальна и редка. Сравните с однокоренными Бавовна, Бавовненко — они встречаются чаще, но Бавольский остаётся более узкой и своеобразной формой.