Фамилия Бавшенков — редкий случай, когда суффикс -енков (вариант -онков) указывает не на географию, а на фонетическую особенность произношения. В русских фамилиях суффикс -енков типичен для южных и западных говоров, где «о» после шипящих переходит в «е»: Бавшенков — это форма от Бавшонков, а тот, в свою очередь, от Бавшонок.

Основа фамилии — прозвище Бавша. В русских диалектах слово «бавша» или «бавш» встречается редко, но имеет чёткое значение: так в некоторых областях называли баловника, шалуна, проказника. В основе лежит глагол «бавить» (забавлять, развлекать) или «бавиться» (играть, шалить). Соответственно, Бавша — человек весёлый, непоседливый, склонный к шалостям. Прозвище давали либо ребёнку, которого не могли унять, либо взрослому, сохранившему детскую живость характера.

Фамилия образована по классической модели: от прозвища Бавша через патроним Бавшенок (сын Бавши) с последующим присоединением фамильного суффикса -ов. Получается: Бавша → Бавшенок → Бавшенков. Ударение, скорее всего, падает на второй слог — Бавше́нков, хотя в разговорной речи возможен вариант на первый.

Географически фамилия привязана к регионам, где суффикс -енков распространён: это юг России (Курская, Воронежская, Белгородская области) и восток Украины. В переписях XVII–XVIII веков фамилия не фиксируется, что говорит о её относительно позднем закреплении — вероятно, не ранее середины XIX века, когда крестьянам массово присваивали фамилии.

Важный нюанс: в некоторых говорах «бавша» могло быть не прозвищем, а искажённым вариантом имени Бавша — уменьшительной формы от Бавва (календарное имя, редкое в православии). Но эта версия слабее: имя Бавва никогда не было популярным на Руси, а диалектная лексика даёт более надёжное объяснение.