Фамилия Байгабилова — женская форма, а мужская, Байгабилов, образована по самой распространённой в русском языке модели: к основе добавили суффикс -ов. Но сама основа здесь нерусская, тюркская, и это сразу подсказывает, где искать корни.

Исходное слово, скорее всего, составное. Первая часть — «бай»: в тюркских языках (казахском, башкирском, татарском, киргизском) это «богач», «господин», «хозяин», а в древности — «вождь племени». Вторая часть — «габил» или «габиль» — арабское имя Кабиль (от глагола «принимать», «соглашаться»). В тюркской среде арабские имена через ислам были очень распространены, и их часто соединяли с местными титулами. Получается «Байгабил» — «богатый (или господин) по имени Габил» либо «господин Кабиль». Такие двухосновные имена — обычное дело в ономастике Поволжья и Средней Азии.

Встречается и более прозаичная версия: «габил» может быть искажением слова «габиль» — «способный», «умелый». Тогда Байгабил — «богатый способностями» или «умелый хозяин». Но первая версия с именем выглядит надёжнее, потому что в тюркских фамилиях чаще закреплялись именно личные имена, а не прозвища по качеству.

Географически фамилия Байгабилова (и Байгабилов) встречается в основном в регионах с тюркским населением: в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской области, а также среди казахов. В русских документах такие фамилии фиксировались с XIX века, когда крестьянам и казакам массово присваивали фамилии по имени отца. Если ваш предок звался Байгабилом, его дети записывались как Байгабиловы.

Интересная деталь: ударение в фамилии, скорее всего, падает на последний слог — Байгаби́лова, хотя в разговорной речи в русскоязычной среде его могли перенести на третий слог (Байга́билова) по аналогии с привычными русскими фамилиями. Но исходное тюркское произношение тяготеет к концу слова.