Фамилия Байорюнас — редкая для России, но типичная для Литвы. Её выдают суффикс и окончание: -юнас — это литовский патронимический формант, соответствующий русскому -ов/-ев или -ин. Он указывает на происхождение от отца, носителя более древнего имени или прозвища. То есть Байорюнас буквально означает «сын Байорюса» или «потомок Байора».

Основа фамилии — литовское слово bajóras (байорас). В литовском языке это прямое заимствование из польского: «bojar» или «bojarzyn» (боярин). В Великом княжестве Литовском, а затем и в Речи Посполитой «байорами» называли мелкопоместных дворян, однодворцев, иногда — просто зажиточных крестьян, имевших особый статус. В отличие от русского «боярин», литовский «байорас» чаще обозначал не высшую аристократию, а служилое сословие, владевшее землёй, но не обязательно имевшее титул.

Таким образом, предок Байорюнасов, скорее всего, был человеком, которого в общине прозвали «байорасом» — либо по сословной принадлежности, либо по имущественному положению. Прозвище закрепилось за его сыновьями и внуками в форме отчества на -юнас, и со временем стало фамилией. Географически фамилия сосредоточена в основном в исторических регионах Литвы — Жемайтии и Аукштайтии, реже встречается в пограничных районах Беларуси и Польши, где жили литовцы.

В русском языке фамилия не склоняется по падежам, если её носитель — мужчина, и может записываться с разной степенью русификации: Байорюнас, реже Байорюнис. Встречаются также варианты с утратой конечного -с: Байорюн. Единичные носители в России — это, как правило, потомки литовцев, переселившихся в Сибирь или на Дальний Восток в конце XIX — начале XX века, либо репатрианты.