Фамилия Базаотий — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение не лежит на поверхности. В отличие от большинства русских фамилий, она не заканчивается на -ов, -ев, -ин или -ский. Суффикс -ий указывает на притяжательное прилагательное, но в русском языке он типичен для фамилий польского, украинского или белорусского происхождения (например, Высоцкий, Грозный). Однако основа «Базаот» звучит нехарактерно для славянских языков.

Скорее всего, перед нами фамилия, образованная от прозвища или имени, заимствованного из тюркских языков. В тюркском «база» может означать «давить», «нажимать», а в переносном смысле — «упрямый», «настойчивый». Суффикс -от в тюркских языках часто образует имена деятеля или качественные характеристики (сравните: «кайнот» — кипящий, «курут» — сухой творог, но и прозвище). Таким образом, «Базаот» могло быть прозвищем упрямого или властного человека. Фамилия Базаотий — это русифицированная форма, где к тюркской основе добавили славянский суффикс -ий, чтобы адаптировать слово к русской грамматике.

Другая, менее вероятная версия — связь с греческим словом «база» (основа) или с именем Вазген, но фонетически «Базаотий» от них далёк. Тюркский след выглядит убедительнее: такие фамилии нередко встречались среди казаков, однодворцев или крестьян южных губерний России, где было сильное татарское и ногайское влияние. Возможно, предок носителя фамилии получил прозвище в татарской среде, а затем его потомки обрусели, сохранив необычную основу.

Географию бытования фамилии установить сложно из-за её редкости. В открытых источниках и базах данных (например, в списках переписей или телефонных справочниках) Базаотий почти не встречается. Это говорит о том, что фамилия либо почти исчезла, либо локализована в одном-двух населённых пунктах. Если вы носитель этой фамилии, скорее всего, ваши предки жили на юге России или в Поволжье — в зоне контакта с тюркскими народами.