Фамилия Базеенков — одна из тех, где разбор начинается не с корня, а с суффикса. Двойной суффикс -енк-ов встречается не так часто, и он сразу указывает на географию и способ образования: фамилия явно с юга или запада России, из регионов, где распространена украинская или белорусская модель на -енко. Суффикс -енко в украинской традиции означал «потомок» или «сын» (как русское -ович). Когда носитель такой фамилии переселялся в великорусские губернии, её часто «обрусевали», добавляя русский патронимический суффикс -ов. Так и получился Базеенков — изначально украинская фамилия Базеенко, которую адаптировали под русскую грамматику.

Основа — Базей. Это уменьшительная форма от крестильного имени Абакум (церковное Аввакум, от древнееврейского «объятие Божье»). В русских говорах имя Аввакум нередко сокращали до Бакум, а от него уже шли ласкательные варианты: Базя, Базей, Базеня. Таким образом, Базеенко — «потомок Базея», то есть сын человека, которого в быту звали Базеем. Полный ономастический ряд выглядит так: Аввакум → Бакум → Базей → Базеенко → Базеенков.

Версия о связи с диалектным словом «баз» (скотный двор, загон) менее вероятна: от него обычно образовывали фамилии Базанов, Базов, но никак не Базеенков — двойной суффикс там не к чему прикрепить.

Социально фамилия, скорее всего, крестьянская или мещанская. Дворянские роды редко проходили через украинскую модель на -енко с последующей русификацией — это бытовая народная черта. Встречается фамилия преимущественно в южных областях России (Воронежская, Ростовская, Волгоградская) и в восточных регионах Украины, что подтверждает миграционный путь: с Украины на юг России.

Если искать однокоренные фамилии, то это Базеенко (исходная форма), Базеев, Базуев, Бакумов — все они восходят к тому же имени Аввакум.