Фамилия Базоиди звучит для русского уха непривычно, и это первый ключ к её происхождению. Она явно не вписывается в славянскую модель образования с суффиксами -ов, -ин или -ский. Скорее всего, перед нами фамилия греческого происхождения, что подтверждается характерным окончанием -иди, которое в греческой ономастике указывает на принадлежность к роду или происхождение от предка.

Основа «Базо» в греческом языке может быть связана с именем собственным или прозвищем. Наиболее вероятная версия — от греческого мужского имени «Василиос» (Василий) в его просторечной или диалектной форме. В некоторых греческих говорах начальное «в» могло редуцироваться или переходить в «б», а «силиос» сокращаться до «зо». Таким образом, «Базо» — это народный вариант имени Василий, означающего «царский», «царственный». Соответственно, Базоиди — «потомок (сын) Базо», то есть потомок человека по имени Василий.

Подобные фамилии на -иди (и -ади, -оти) широко распространены в Греции и среди греческих диаспор, в том числе в Причерноморье, на Кубани и в Крыму. В Российскую империю такие фамилии попали вместе с волнами переселения греков в XVIII-XIX веках, особенно после русско-турецких войн. Носители фамилии Базоиди, скорее всего, потомки греческих переселенцев, занимавшихся торговлей, мореходством или ремеслом. Встречается фамилия и в современной Греции, хотя и не относится к числу самых частых.

Интересно, что, в отличие от многих греческих фамилий, оканчивающихся на -опулос (сын попа) или -пулос (сын), модель на -иди более архаична и характерна для малоазийских греков и понтийцев. Если ваши предки носили эту фамилию, это может указывать на корни из региона Понта (северо-восток Турции) или с островов Эгейского моря, откуда греки активно переселялись в Приазовье.